Question

12．已知函数f（x）=log₂g（x）+（k-1）x．
（1）若g（log₂x）=x+1，且f（x）为偶函数，求实数k的值；
（2）当k=1，g（x）=ax²+（a+1）x+a时，若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，则x=2^t，代入g（log₂x）=x+1，求得函数f（x）的解析式，由f（-x）=f（x），代入即可求得k的取值范围；
（2）k=1，f（x）=log₂[ax²+（a+1）x+a]，当a≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，求得0＜a≤1，当a=0时，f（x）=log₂x，函数f（x）的值域为R，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）令t=log₂x，则x=2^t，代入g（log₂x）=x+1，
∴g（t）=2^t+1，
∴f（x）=log₂（2^x+1）+（k-1）x，
由函数f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴log₂（2^x+1）+（k-1）x=log₂（2^-x+1）-（k-1）x，
∴x=-2（k-1）x，对一切x∈R恒成立，
∴2（k-1）=-1，
∴k=$\frac{1}{2}$，
（2）k=1，f（x）=log₂[ax²+（a+1）x+a]，
当a≠0时，要使函数f（x）的值域为R，
要求一元二次方程：ax²+（a+1）x+a=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（a+1）^{2}-4{a}^{2}≥0}\end{array}\right.$，
解得：0＜a≤1，
当a=0时，f（x）=log₂x，函数f（x）的值域为R，
综合可知：实数a的取值范围[0，1]．

点评 本题考查复合函数的单调性及奇偶性的判断，考查函数性质的综合应用，考查换元法及一元二次方程判别式的应用，属于中档题．