Question

2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，△ABC的面积为$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）cosA和边a；
（Ⅱ）sin（A+B）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及三角形面积公式可得$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{12}$×sinA，可解得sinA，由同角三角函数关系式即可求cosA，由余弦定理可解得a的值．
（Ⅱ）由正弦定理可得sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=$\frac{csinA}{a}$，从而得解．

解答 解：（Ⅰ）∵c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，△ABC的面积$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{12}$×sinA，可解得：sinA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosA=±$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=8±4=4，从而解得：a=2或2$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，余弦定理，同角三角函数关系式的综合应用，属于基本知识的考查．