【题目】已知函数,其中
.
(1)当时,求
的最小值;
(2)设函数恰有两个零点
,且
,求
的取值范围.
【答案】(1) ; (2)
【解析】
(1)当时,利用指数函数和二次函数的图象与性质,得到函数的单调性,即可求得函数
的最小值;
(2)分段讨论讨论函数在相应的区间内的根的个数,函数在
时,至多有一个零点,函数
在
时,可能仅有一个零点,可能有两个零点,分别求出
的取值范围,可得解.
(1)当时,函数
,
当时,
,由指数函数的性质,可得函数
在
上为增函数,且
;
当时,
,由二次函数的性质,可得函数
在
上为减函数,在
上为增函数,
又由函数, 当
时,函数
取得最小值为
;
故当时,
最小值为
.
(2)因为函数恰有两个零点
,所以
(ⅰ)当时,函数
有一个零点,令
得
,
因为时,
,所以
时,函数
有一个零点,设零点为
且
,
此时需函数在
时也恰有一个零点,
令,即
,得
,令
,
设,
,
因为,所以
,
,
,
当时,
,所以
,即
,所以
在
上单调递增;
当时,
,所以
,即
,所以
在
上单调递减;
而当时,
,又
时,
,所以要使
在
时恰有一个零点,则需
,
要使函数恰有两个零点
,且
,设
在
时的零点为
,
则需,而当
时,
,
所以当时,函数
恰有两个零点
,并且满足
;
(ⅱ)若当时,函数
没有零点,函数
在
恰有两个零点
,且满足
,也符合题意,
而由(ⅰ)可得,要使当时,函数
没有零点,则
,
要使函数在
恰有两个零点
,则
,但不能满足
,
所以没有的范围满足当
时,函数
没有零点,
函数在
恰有两个零点
,且满足
,
综上可得:实数的取值范围为
.
故得解.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
:
,圆
:
,动点
在直线
:
上(
),过
分别作圆
,
的切线,切点分别为
,
,若满足
的点
有且只有一个,则实数
的值为______.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l:(t为参数)与曲线C:
(θ为参数)相交于不同的两点A,B.
(Ⅰ)若α=,求线段AB中点M的坐标;
(Ⅱ)若|PA|·|PB|=|OP|,其中P(2,
),求直线l的斜率.
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【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AC=2BC,∠ACB=90°.
(Ⅰ)求证:AC1⊥A1B;
(Ⅱ)求直线AB与平面A1BC所成角的正切值.
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【题目】如图长方体中,
,
分别为棱
,
的中点
(1)求证:平面平面
;
(2)请在答题卡图形中画出直线与平面
的交点
(保留必要的辅助线),写出画法并计算
的值(不必写出计算过程).
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【题目】如图长方体中,
,
分别为棱
,
的中点
(1)求证:平面平面
;
(2)请在答题卡图形中画出直线与平面
的交点
(保留必要的辅助线),写出画法并计算
的值(不必写出计算过程).
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【题目】2018年高考成绩揭晓,某高中再创辉煌,考后学校对于单科成绩逐个进行分析:现对甲、乙两个文科班的数学成绩进行分析,规定:大于等于135分为优秀,135分以下为非优秀,成绩统计后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为
.
(1)请完成上面的列联表;
(2)请问:是否有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”?
(3)用分层抽样的方法从甲、乙两个文科班的数学成绩优秀的学生中抽取5名学生进行调研,然后再从这5名学生中随机抽取2名学生进行谈话,求抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率.
参考公式:(其中
)
参考数据:
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【题目】在极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+ )=1.以极点O为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C的参数方程为
(θ为参数).若直线l与圆C相切,求r的值.
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