【题目】已知点,
,点
满足
,其中
,
,且
;圆
的圆心
在
轴上,且与点
的轨迹相切与点
.
(1)求圆的方程;
(2)若点,点
是圆
上的任意一点,求
的取值范围;
(3)过点的两条直线分别与圆
交于
、
两点,若直线
、
的斜率互为相反数,求证:
.
【答案】(1);(2)
;(3)详见解析.
【解析】试题分析:(1)先求出点C的轨迹方程, 依题意,设圆 ,由圆心在
轴上,求出
的值,得到圆
的方程; (2) 设
,求出
,转化为求斜率为
的直线与圆有交点时,纵截距
的范围, 当直线与圆相切时,求出范围; (3)设
,设直线AP方程为
,则直线AQ方程为
,联立直线与圆方程,求出
的表达式,用
换成
,求出直线PQ的斜率,与直线AD的斜率相等,所以
.
试题解析:
(1)依题意,可得,所以
,所以
,所以
,
,
三点共线,所以点
的轨迹是直线
,直线
的方程为
,整理得
.
依题意,可设圆的方程为
,整理得
,由圆
的圆心在
轴上,可得
,解得
.
所以圆的方程为
.
(2)设,则,
.
令,可化为
,它表示斜率为-1的一族平行直线,
是直线在
轴上的截距,观察图形,可知当直线与圆
相切时,
取得最值,
也取得相应最值.
由,解得
,
,所以
的取值范围是
.
(3)证明:设,
.
又设直线的斜率分别为
,则直线
的斜率为
,直线
的方程分别为
.
由消去
可得
,则
,用
代换其中的
可得
.
所以
.
又因为,所以
.
点睛: 本题主要考查了直线与圆位置关系, 属于中档题. 解题思路: 在(1)中,由向量关系式得出A,B,C三点共线,求出直线AB的方程,再根据圆D与直线相切,设圆 ,由圆心在
轴上,求出
的值,得到圆
的方程;在(2)中,注意转化为直线
与圆有交点时,求
的范围; 在(3)中,要证明
,可以分别求出直线PQ,AD的斜率,看是否相等,得到证明.
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【题目】在平面直角坐标系中,点
,直线
.设圆
的半径为1,圆心在
上.
(1)若圆心也在直线
上,过点
作圆
的切线,求切线的方程;
(2)若圆上存在点
,使
,求圆心
的横坐标
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣
(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.
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【题目】给出定义在上的两个函数
,
.
(1)若在
处取最值.求
的值;
(2)若函数在区间
上单调递减,求实数
的取值范围;
(3)试确定函数的零点个数,并说明理由.
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【题目】已知双曲线C的顶点在x轴上,两顶点间的距离是8,离心率
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点P(3,0)且斜率为k的直线与双曲线C有且仅有一个公共点,求k的值
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【题目】已知动圆过定点
,且与直线
相切,椭圆
的对称轴为坐标轴,
点为坐标原点,
是其一个焦点,又点
在椭圆
上.
(1)求动圆圆心的轨迹
的标准方程和椭圆
的标准方程;
(2)若过的动直线
交椭圆
于
点,交轨迹
于
两点,设
为
的面积,
为
的面积,令
的面积,令
,试求
的取值范围.
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【题目】设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,sinB=2sinA.
(1)若C=,求a,b的值;
(2)若cosC=,求△ABC的面积.
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