Question

已知函数f（x）=x³+

5

2

x²+ax+b，g（x）=x³+

7

2

x²+1nx+b（a，b为常数）．
（1）若g（x）在x=l处的切线方程为y=kx-5（k为常数），求b的值；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x₀，使得f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0同时成立，求实数b的取值范围；
（3）令F（x）=f（x）-g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+1n2，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，建立条件关系即可求出b的值．
（2）求函数的导数，解f（x₀）=x₀与f′（x₀）=0，即可得到结论．
（3）求出F（x）的导数，根据函数极值和导数之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵g′(x)=3x2+7x+

1

x

，g′(1)=11
所以直线y=kx-5的k=11，
当x=1时，y=6，将（1，6）代入g(x)=x3+

7

2

x2+lnx+b，得b=

3

2

．   …（4分）
（2）f′(x0)=3x2+5x+a，
由题意知

3x02+5x0+a=0 x03+ 5 2 x02+ax0+b=x0

消去a，
得2x03+

5

2

x02+x0-b=0有唯一解．
令h(x)=2x3+

5

2

x2+x，则h'（x）=6x²+5x+1=（2x+1）（3x+1），…（6分）
所以h（x）在区间(-∞，-

1

2

)，(-

1

3

，+∞)上是增函数，在(-

1

2

，-

1

3

)上是减函数，
又h(-

1

2

)=-

1

8

，h(-

1

3

)=-

7

54

，
故实数b的取值范围是(-∞，-

7

54

)∪(-

1

8

，+∞)． …（9分）
（3）∵F（x）=ax-x²-lnx，∴F′(x)=-

2x2-ax+1

x

因为F（x）存在极值，所以F′(x)=-

2x2-ax+1

x

=0
在（0，+∞）上有根即方程2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根．    …（10分）
记方程2x²-ax+1=0的两根为x₁，x₂由韦达定理

x1x2= 1 2 ＞0 x2+x1= a 2

，
所以方程的根必为两不等正根．     …（12分）
F(x1)+F(x2)=a(x1+x2)-(x12+x22)-(lnx1+lnx2)=

a2

2

-

a2

4

+1-ln

1

2

＞5-ln

1

2

所以a²＞16满足方程2x²-ax+1=0判别式大于零
故所求取值范围为（4，+∞）…（14分）

点评：本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，利用导数的几何意义以及导数的运算是解决本题的关键．