Question

20．已知直角的三边长a，b，c，满足a≤b＜c
（1）在a，b之间插入2016个数，使这2018个数构成以a为首项的等差数列{a_n}，且它们的和为2018，求斜边的最小值；
（2）已知a，b，c均为正整数，且a，b，c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S₁，S₂，S₃，…，S_n，且${T_n}=-{S_1}+{S_2}-{S_3}+…+{（-1）^n}{S_n}$，求满足不等式${T_{2n}}＞6•{2^{n+1}}$的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比数列，若数列{X_n}满足$\sqrt{5}{X_n}={（{\frac{c}{a}}）^n}-{（{-\frac{a}{c}}）^n}\;（n∈{N^*}）$，证明：数列$\left\{{\sqrt{X_n}}\right\}$中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且X_n是正整数．

Answer 1

分析 （1）{a_n}是等差数列，可得$\frac{2018•（a+b）}{2}=2018$，即a+b=2．利用勾股定理与基本不等式的性质即可得出．
（2）设a，b，c的公差为d（d∈Z），则a²+（a+d）²=（a+2d）²，可得a=3d．设三角形的三边长为3d，4d，5d，面积=$\frac{1}{2}×3d×4d$=6d²（d∈Z）．可得：${S_n}=6{n^2}$，利用等差数列的求和公式可得T_2n．由${T_{2n}}＞6•{2^{n+1}}$得${n^2}+\frac{1}{2}n＞{2^n}$，经过分类讨论即可得出．
（3）由a，b，c成等比数列，b²=ac．由于a，b，c为直角三角形的三边长，知a²+ac=c²，$\frac{c}{a}=\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，又$\sqrt{5}{X_n}={（{\frac{c}{a}}）^n}-{（{-\frac{a}{c}}）^n}\;（n∈{N^*}）$，得$\sqrt{5}{X_n}={（{\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}）^n}-{（{\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}}）^n}$，可得X_n+X_n+1=X_n+2，再利用勾股定理进行验证即可得出．

解答 解：（1）{a_n}是等差数列，∴$\frac{2018•（a+b）}{2}=2018$，即a+b=2．
∴c²=a²+b²≥$\frac{（a+b）^{2}}{2}$=2，斜边的最小值为$\sqrt{2}$（当且仅当a=b=1等号成立，此时数列{a_n}中，a_n=1）．
（2）设a，b，c的公差为d（d∈Z），则a²+（a+d）²=（a+2d）²，∴a=3d．
设三角形的三边长为3d，4d，5d，面积S=$\frac{1}{2}×3d×4d$=6d²（d∈Z）．
${S_n}=6{n^2}$，${T_{2n}}=-{S_1}+{S_2}-{S_3}+…+{S_{2n}}=6[-{1^2}+{2^2}-{3^2}+{4^2}-…+{（2n）^2}]$=6（1+2+3+4+…++2n）=12n²+6n．
由${T_{2n}}＞6•{2^{n+1}}$得${n^2}+\frac{1}{2}n＞{2^n}$，
当n≥5时，${2^n}=1+n+\frac{n（n-1）}{2}+…≥2+2n+（{n^2}-n）＞{n^2}+\frac{1}{2}n$，
经检验当n=2，3，4时，${n^2}+\frac{1}{2}n＞{2^n}$，当n=1时，${n^2}+\frac{1}{2}n＜{2^n}$．
综上所述，满足不等式${T_{2n}}＞6•{2^{n+1}}$的所有n的值为2、3、4．
（3）证明：因为a，b，c成等比数列，b²=ac．
由于a，b，c为直角三角形的三边长，知a²+ac=c²，$\frac{c}{a}=\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，
又$\sqrt{5}{X_n}={（{\frac{c}{a}}）^n}-{（{-\frac{a}{c}}）^n}\;（n∈{N^*}）$，得$\sqrt{5}{X_n}={（{\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}）^n}-{（{\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}}）^n}$，
于是$\sqrt{5}{X_n}+\sqrt{5}{X_{n+1}}={（{\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}）^n}-{（{\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}}）^n}+{（{\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}）^{n+1}}-{（{\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}}）^{n+1}}$=${（{\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}）^{n+2}}-{（{\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}}）^{n+2}}=\sqrt{5}{X_{n+2}}$．∴X_n+X_n+1=X_n+2，则有∴${（{\sqrt{X_n}}）^2}+{（{\sqrt{{X_{n+1}}}}）^2}={（{\sqrt{{X_{n+2}}}\;}）^2}$．
故数列$\left\{{\sqrt{X_n}}\right\}$中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形．
因为 ${X_1}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\left\{{{{（{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}）}^1}-{{（{\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}}）}^1}}\right\}=1$，${X_2}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\left\{{{{（{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}}）}^2}-{{（{\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}}）}^2}}\right\}=1$$⇒{X_3}={X_1}+{X_2}=2∈{N^*}$，
由X_n+X_n+1=X_n+2，同理可得${X_n}∈{N^*}，{X_{n+1}}∈{N^*}⇒{X_{n+2}}∈{N^*}$，
故对于任意的n∈N^*都有X_n是正整数．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式性质及其求和公式、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．