Question

10．已知向量$\overrightarrow m=（{e^x}+\frac{x^2}{2}，x）$，$\overrightarrow n=（2，a）$，若对于函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$在区间（-1，0）上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是[-2，+∞）．

Answer 1

分析 先根据向量的数量积公式得到$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=2e^x+x²+ax，根据题意可得a＞-2e^x-2x在（-1，0）上有解，转化为g（x）=-2x-2e^x，a＞g（x）_min，利用导数求出最值即可

解答 解：∵向量$\overrightarrow m=（{e^x}+\frac{x^2}{2}，x）$，$\overrightarrow n=（2，a）$，
∴函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=2e^x+x²+ax，
∴f′（x）=2e^x+2x+a，
∵函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$在区间（-1，0）上存在单调递增区间，
∴f′（x）=2e^x+2x+a＞0，
即a＞-2e^x-2x在（-1，0）上有解，
令g（x）=-2e^x-2x，
∴g′（x）=-2-2e^x＜0在（-1，0）上恒成立，
∴g（x）在（-1，0）上单调递减，
∴g（x）＞g（0）=-2，
∴a≥2
故答案为[-2，+∞）

点评 本题考察了向量的数量积的运算和导数在解决函数最值，单调性，不等式成立问题中的应用，属于中档题．