Question

20．（1）分别比较log₂3和log₃4，log₃4和log₄5的大小，归纳出一个一般性的结论，并证明你的结论；
（2）已知a，b，x，y∈R，证明：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，并利用上述结论求（sin²x+cos²x）（$\frac{1}{{{{sin}^2}x}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}x}}$）的最小值（其中x∈R）．

Answer 1

分析 （1）作差（作商），即可比较证明大小；
（2）作差比较即可证明；由不等式（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立知$（{sin^2}x+{cos^2}x）（\frac{1}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}）≥9$，即可得出结论．

解答 解：（1）log₂3-log₃4=$\frac{lg3}{lg2}-\frac{lg4}{lg3}$=$\frac{l{g}^{2}3-lg2lg4}{lg2lg3}$＞$\frac{l{g}^{2}3-（\frac{lg2+lg4}{2}）^{2}}{lg2lg3}$＞$\frac{l{g}^{2}3-（\frac{1}{2}lg9）^{2}}{lg2lg3}$=0，
所以log₂3＞log₃4
同理log₃4＞log₄5，
一般性的结论：log_n（n+1）＞log_（n+1）（n+2）．（n∈N₊）
$\frac{lo{g}_{（n+1）}（n+2）}{lo{g}_{n}（n+1）}$=log_（n+1）（n+2）log_（n+1）n＜$[\frac{lo{g}_{（n+1）}（n+2）n}{2}]^{2}$＜1，
∵log_n（n+1）＞0，∴log_n（n+1）＞log_（n+1）（n+2）．（n∈N₊）；
（2）∵（a²+b²）（x²+y²）-（ax+by）²=a²x²+a²y²+b²x²+b²y²-（a²x²+2abxy+b²y²）=a²y²-2abxy+b²x²=（ay-bx）²≥0∴（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²
由不等式（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立
知$（{sin^2}x+{cos^2}x）（\frac{1}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}）≥9$，
∴（sin²x+cos²x）（$\frac{1}{{{{sin}^2}x}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}x}}$）的最小值为9．

点评 本题考查合情推理，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．