Question

如图，设圆x²+y²=12与抛物线x²=4y相交于A，B两点，F为抛物线的焦点．若过点F作一直线l交圆于点M、N，求△OMN面积的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：过点F作一直线l的方程为y=kx+1，联立

x2+y2=12 y=kx+1

，得：（k²+1）x²+2kx-11=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由弦长公式和点到直线的距离公式得到S_△OMN=

1

2

d•|MN|=

12k2+11

k2+1

，由此能求出△OMN面积的取值范围．

解答： 解：∵抛物线x²=4y的焦点F（0，1），
∴过点F作一直线l的方程为y=kx+1，
联立

x2+y2=12 y=kx+1

，得：（k²+1）x²+2kx-11=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=-

2k

k2+1

，x₁x₂=-

11

k2+1

，
∴|MN|=

(1+k2)[ 4k2 (k2+1)2 + 44 k2+1 ]

=2

12k2+11 k2+1

，
∵O（0，0）到直线y=kx+1的距离d=

1

k2+1

，
∴S_△OMN=

1

2

d•|MN|
=

1

2

•

1

k2+1

•2

12k2+11 k2+1

=

12k2+11

k2+1

，
∴当k=0时，（S_△OMN） max =

11

．
当k→+∞时，（S_△OMN）_min→0．
∴△OMN面积的取值范围是（0，

11

]．

点评：本题考查三角形的面积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦长公式和点到直线的距离公式的合理运用．