Question

1．若实数x，y满足x≥y＞0，且$x=4\sqrt{y}+2\sqrt{x-y}$，则x的取值范围是（4，20]．

Answer 1

分析 设$\sqrt{y}$=t则可知t＞0，重新整理等式，利用一元二次方程根的情况，要使方程有正数根，需要△≥0且f（0）＞0，解不等式组即可求得x的范围

解答 解：设$\sqrt{y}$=t，t＞0，
则$\sqrt{x-y}$=$\sqrt{x-{t}^{2}}$，
∴x=4t+2$\sqrt{x-{t}^{2}}$，
整理得20t²-8xt+x²-4x=0，
要使方程有正数解需$\left\{\begin{array}{l}{△=64{x}^{2}-80（{x}^{2}-4x）≥0}\\{f（0）={x}^{2}-4x＞0}\end{array}\right.$，
求得4＜x≤20，
故答案为：（4，20]

点评 本题主要考查了函数和方程思想的运用．这道题需要运用转化和化归的思想，把问题转化为函数和方程的问题，利用根的分布来解决x的范围问题．