Question

已知D是面积为1的△ABC的边AB上任一点，E是边AC上任一点，连结DE，F是线段DE上一点，连结BF，G是BF上一点，设

AD

=λ1

AB

，

AE

=λ2

AC

，

DF

=λ3

DE

，

BG

=λ4

BF

，且λ1+λ4-λ2-λ3=

2

3

，记△GDF的面积为S=f（λ₁，λ₂，λ₃，λ₄），则S的最大值是（　　）

• A、

  16

  81

• B、

  1

  64

• C、

  8

  81

• D、

  1

  81

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，连接AF，BE．由

AD

=λ1

AB

，

AE

=λ2

AC

，

DF

=λ3

DE

，

BG

=λ4

BF

，
利用三角形的面积计算公式可得

S△GDF

S△BDF

=

BG

BF

=1-λ4，

S△BDF

S△ABF

=

BD

AB

=1-λ1，

S△ABF

S△ABE

=

DF

DE

=λ₃，

S△ABE

S△ABC

=

AE

AC

=λ2，由于S_△ABC=1，λ1+λ4-λ2-λ3=

2

3

，
可得S=S_△GDF=（1-λ₄）（1-λ₁）λ₃λ₂≤(

1-λ4+1-λ1+λ3+λ2

4

)4，即可得出．

解答： 解：如图所示，
连接AF，BE．
∵

AD

=λ1

AB

，

AE

=λ2

AC

，

DF

=λ3

DE

，

BG

=λ4

BF

，
∴

S△GDF

S△BDF

=

BG

BF

=1-λ4，

S△BDF

S△ABF

=

BD

AB

=1-λ1，

S△ABF

S△ABE

=

DF

DE

=λ₃，

S△ABE

S△ABC

=

AE

AC

=λ2，
又∵S_△ABC=1，λ1+λ4-λ2-λ3=

2

3

，
∴S=S_△GDF=（1-λ₄）（1-λ₁）λ₃λ₂≤(

1-λ4+1-λ1+λ3+λ2

4

)4=

1

81

．当且仅当1-λ₄=1-λ₁=λ₃=λ₂取等号．
∴S的最大值为

1

81

．
故选：D．

点评：本题考查了向量共线定理、三角形的面积计算公式、不等式的性质，考查了解决复杂问题的能力，属于难题．