Question

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪， 图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
(1)．设AD=x（x≥0），DE=y，求用x表示y的函数关系式,并求函数的定义域；
(2)．如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．

Answer 1

（1）；（2）如果DE是水管，DE的位置在AD=AE=处，如果DE是参观路线，则DE为AB中线或AC中线时，DE最长，证明过程详见解析．

解析试题分析：（1）在△ADE中，利用余弦定理可得，又根据面积公式可得，消去AE后即可得到y与x的函数关系式，又根据可以得到x的取值范围；（2）如果DE是水管，则问题等价于当时，求的最小值，利用基本不等式即可求得当时，y有最小值为，如果DE是参观路线，则问题等价于问题等价于当时，求的最小值，根据函数在[1,2]上的单调性，可得当x=1或2时，y有最小值．
（1）在△ADE中，由余弦定理：①
又∵ ②
②代入①得（y＞0）, ∴，
由题意可知，所以函数的定义域是，
；
（2）如果DE是水管,
当且仅当，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝．
如果DE是参观线路，记，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，
故 ∴y _max＝．即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．    
考点：1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算．