Question

1．若实数（a＞0，b＞0），且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，则当$\frac{2a+b}{8}$的最小值为m，函数f（x）=e^-mx|lnx|-1的零点个数为1．

Answer 1

分析 由基本不等式求最值可得m值，问题转化为两函数图象交点个数问题，由指数函数和对数函数的图象特点可得．

解答 解：∵实数（a＞0，b＞0），且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
∴$\frac{2a+b}{8}$=$\frac{1}{8}$（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）
=$\frac{1}{8}$（4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）≥$\frac{1}{8}$（4+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$）=1，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$即a=2且b=4时，$\frac{2a+b}{8}$的最小值m=1，
故函数的零点个数即为函数e^-x|lnx|-1=0的根的个数，
即|lnx|=e^x根的个数，即函数y=|lnx|和y=e^x图象交点的个数，
由指数函数和对数函数的图象特点可得两图象的交点个数为1，
故答案为：1．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及函数零点的个数判断，属中档题．