Question

9．如图在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BB₁的中点，F为CD的中点，G为AB的中点．求证：平面AED⊥平面A₁FG．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面AED⊥平面A₁FG．

解答 证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则A（2，0，0），E（2，2，1），G（2，1，0），F（0，1，0），A₁（2，0，2），
$\overrightarrow{AE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{F{A}_{1}}$=（2，-1，2），$\overrightarrow{FG}$=（2，0，0），
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{F{A}_{1}}$=0-2+2=0，∴AE⊥FA₁，
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{FG}$=0，∴AE⊥FG，
∵FG∩FA₁=F，∴AE⊥平面A₁FG，
∵AE?平面AED，∴平面AED⊥平面A₁FG．

点评 本题考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．