Question

20．如图，在△OAB中，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，AD与BC交于点M，设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b$，
（1）试用向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{OM}$；
（2）过点M作直线EF分别交线段AC，BC于点E，F，记$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OF}=μ\overrightarrow{OB}$，求证：不论点E，F在线段AC，BD上如何移动，$\frac{1}{λ}$$+\frac{3}{μ}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由向量共线定理即可求出；
（2）设$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{OE}$+y$\overrightarrow{OF}$=xλ$\overrightarrow{a}$+yμ$\overrightarrow{b}$，由（1）可得$\frac{1}{λ}$+$\frac{3}{μ}$=7，问题得以证明．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b$，由A，M，D三点共线可得存在实数t使得
$\overrightarrow{OM}$=t$\overrightarrow{OA}$+（1-t）$\overrightarrow{OD}$=t$\overrightarrow{a}$+（1-t）$\frac{1}{2}$•$\overrightarrow{b}$，
同理由C，M，B三点共线可得存在实数λ使得
$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OB}$+（1-λ）$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{b}$+$\frac{1-λ}{4}$$\overrightarrow{a}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-λ}{4}=t}\\{λ=\frac{1-t}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{3}{7}}\\{t=\frac{1}{7}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{7}\overrightarrow{b}$，
（2）设$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{OE}$+y$\overrightarrow{OF}$=xλ$\overrightarrow{a}$+yμ$\overrightarrow{b}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{xλ=\frac{1}{7}}\\{yμ=\frac{3}{7}}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{7x=\frac{1}{λ}}\\{7y=\frac{3}{μ}}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{λ}$+$\frac{3}{μ}$=7，
故不论点E，F在线段AC，BD上如何移动，$\frac{1}{λ}$$+\frac{3}{μ}$为定值．

点评 本题主要考查了平面向量的共线定理的应用：若A，B，C三点共线，O为直线外一点?存在实数λ，μ使得$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$；还考查了向量的基本定理的应用．