Question

房间里有n盏电灯，分别由n个开关控制，至少开1盏灯用以照明，共有a_n种不同的照明方法（其中n∈N^*）
（1）当n=5时，求a₅；
（2）求a_n；
（3）求证：

1

a1+1

+

1

2(a2+1)

+…+

1

n(an+1)

＜1．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：综合题,二项式定理

分析：（1）a₅表示房间里有5个开关控制，至少开1盏灯用以照明的照明方法；
（2）利用间接法，可求a_n；
（3）利用放缩法，结合等比数列的求和公式可得结论．

解答： （1）解：a5=

C

1 5

+

C

2 5

+

C

3 5

+

C

4 5

+

C

5 5

=31；                          （2分）
（2）解：an=

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

=2n-1；                            （6分）
（3）证明：因为

1

n(an+1)

=

1

n•2n

≤

1

2n

，
所以

1

a1+1

+

1

2(a2+1)

+…

1

n(an+1)

＜

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

＜1（14分）

点评：本题考查二项式定理的应用，考查等比数列的求和公式，正确运用组合知识是关键．