Question

18．如图，在三棱锥P-ABC中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，∠PCA=90°，E，F分别为AP，AC的中点，且PA=4，$BE=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角A-BP-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）充分利用三角形中的性质关系得出直角．（2）合理建系求出点的坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵PA=4，AC=2，∠PCA=90°
∴∠PAC=60°．
又∵AE=AC=2，∴△AEC是边长为2的等边三角形．
∵F为AC的中点，∴AC⊥EF…（2分）
又△ABC是边长为2的等边三角形，F为AC的中点，
∴AC⊥BF…（4分）
又∵EF∩BF=F，∴AC⊥平面BEF…（6分）
（Ⅱ）如图，取AB中点F，BF中点G，联结EF，EG．
由（Ⅰ）可知$EF=BF=\sqrt{3}$，$BE=\sqrt{3}$，
所以EG⊥BF，
所以EG⊥平面ABC．
如图建立空间直角坐标系G-xyz，则.$B（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0，0）$，$E（0，0，\frac{3}{2}）$，$A（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-1，0）$，$C（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1，0）$，$P（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1，3）$…（8分）
所以$\overrightarrow{BP}=（0，1，3）$，$\overrightarrow{BA}=（-\sqrt{3}，-1，0）$，
所以平面ABP的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，-3，1）$…（11分）
所以$\overrightarrow{BP}=（0，1，3）$，$\overrightarrow{BC}=（-\sqrt{3}，1，0）$，
所以平面CBP的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（\sqrt{3}，-3，-1）$…（13分）
所以平面ABP$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=-\frac{7}{13}$…（15分）
即平面ABP与平面CBP所成角的余弦值为$\frac{7}{13}$．

点评 本题考查线面垂直的证明和二面角余弦值的求法，属中档题．属于高考常考题型．