Question

8．求函数y=$\frac{1}{4}$（x-4）²与坐标轴围成的面积和周长．

Answer 1

分析 ①S=∫${\;}_{0}^{4}$$\frac{1}{4}$（x-4）²dx即可求解面积，
②求解dy=$\frac{1}{2}$（x-4）dx，dl=dx$•\sqrt{1+\frac{1}{4}（x-4）^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{4+（x-4）^{2}}$dx，
运用积分求解弧长$\widehat{AB}$=∫${\;}_{0}^{4}$$\frac{1}{2}\sqrt{4+（x-4）^{2}}$dx即可求解周长．

解答 解：①∵函数y=$\frac{1}{4}$（x-4）²
∴S=∫${\;}_{0}^{4}$$\frac{1}{4}$（x-4）²dx=[$\frac{1}{12}$（x-4）³]${\;}_{0}^{4}$=$\frac{16}{3}$
C=8$+\widehat{AB}$，

∵y=$\frac{1}{4}$（x-4）²，
∴dy=$\frac{1}{2}$（x-4）dx，
dl=dx$•\sqrt{1+\frac{1}{4}（x-4）^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{4+（x-4）^{2}}$dx，
∴$\widehat{AB}$=∫${\;}_{0}^{4}$$\frac{1}{2}\sqrt{4+（x-4）^{2}}$dx=$\frac{1}{2}\{\frac{x-4}{2}\sqrt{4+（x-4）^{2}}+2ln[（x-4）+\sqrt{4+（x-4）^{2}}]\}$${\;}_{0}^{4}$
=ln2-[-2$\sqrt{5}$$+ln（2\sqrt{5}-4）$]=2$\sqrt{5}$$+ln（2+\sqrt{5}）$
∴周长C=8+2$\sqrt{5}$$+ln（2+\sqrt{5}）$
故坐标轴围成的面积$\frac{16}{3}$和周长8+2$\sqrt{5}$$+ln（2+\sqrt{5}）$

点评 本题考查了导数，积分的概念，几何意义的运用，属于中档题．