Question

已知数列满足，，是数列的前n项和，且有.

（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；

（3）设，记数列的前n项和，求证：.

 

Answer 1

（1）见解析；（2）；（3）祥见解析．

【解析】

试题分析：（1）先由两边同时减１求出然后取倒，即可证明数列是等差数列；（2）由于当时，，然后将代入化简即可得到的关系式，将所得式子转化为：，最后应用叠乘法即可求得数列的通项公式；（3）由前两问的结果可得到数列的通项公式为，应用裂项相消求和法先求出数列的前n项和，即可证得所要证明的不等式式．

试题解析：（1）证明： 1分

即： 3分

∴数列是以为首项，1为公差的等差数列. 4分

（2）【解析】
当时， 5分

， 即： 6分

8分

当时， ∴ 9分

（3）由（1）知： 10分

12分

...14分

考点：1．等差数列；2．数列通项公式的求法；３．数列前项和的求法．