【题目】如图,椭圆与一等轴双曲线相交,是其中一个交点,并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点,,双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点,设为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线的斜率分别为,且直线和与椭圆的交点分别为、和、.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)(i)证明:;
(ii)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),;(2)(i)证明见解析;(ii)存在,.
【解析】
(1)根据题意双曲线的,进而可求双曲线的标准方程;椭圆的,由可得,进而可得椭圆的标准方程.
(2)(i)设点,利用两点,,从而可得,将点代入双曲线方程即可证出;(ii)假设存在常数,使得恒成立,由(i)设直线的方程为,进而求出直线的方程,把直线代入椭圆方程,利用弦长公式求出, 同理求出弦长,代入整理即可求出的值
(1)由题意知,双曲线的,方程为:
椭圆:,即.
于是椭圆方程为;
(2)(i)设点,则,,
则;
而由点在双曲线上,可知,即有;
从而,故.
(ii)假设存在常数,使得恒成立.
则由(i)知,所以可设直线的方程为,
直线的方程为;
把直线的方程为代入椭圆方程,
整理得;
若设,,则有,;
因此;
同理可得;
因此由知
.
所以存在常数,使得恒成立.
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【题目】中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题:“某贾人擅营,月入益功疾(注:从第2月开始,每月比前一月多入相同量的铜钱,3月入25贯,全年(按12个月计)共入510贯“,则该人每月比前一月多入_________________贯,第12月营收贯数为_________________.
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【题目】小明口袋中有3张10元,3张20元(因纸币有编号认定每张纸币不同),现从中掏出纸币超过45元的方法有_______种;若小明每次掏出纸币的概率是等可能的,不放回地掏出4张,刚好是50元的概率为_______.
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【题目】已知向量,.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)令,把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半(纵坐标不变),再把所得图象沿轴向右平移个单位,得到函数的图象,试求函数的单调增区间及图象的对称中心.
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【题目】(.(12分)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没奖。某顾客从此10张奖券中任抽2张,求:
(1)该顾客中奖的概率;
(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布列。
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