Question

7．已知命题p：“方程$\frac{{x}^{2}}{9-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“方程$\frac{{x}^{2}}{2-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示双曲线”．
若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 命题p真：可得$\left\{\begin{array}{l}{9-k＞k-1}\\{k-1＞0}\end{array}\right.$，解得k范围．命题q真：可得（2-k）k＜0，解得k．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，可得p，q必然一真一假．

解答 解：命题p：“方程$\frac{{x}^{2}}{9-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1表示焦点在x轴上的椭圆”，则$\left\{\begin{array}{l}{9-k＞k-1}\\{k-1＞0}\end{array}\right.$，解得5＞k＞1．
命题q：“方程$\frac{{x}^{2}}{2-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示双曲线”，（2-k）k＜0，解得k＞2或k＜0．
若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，可得p，q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜k＜5}\\{0≤k≤2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{k≥5或k≤1}\\{k＞2或k＜0}\end{array}\right.$，
解得：1＜k≤2或k≥5或k＜0．
实数k的取值范围是1＜k≤2或k≥5或k＜0．

点评 本题考查了函数的性质、复合命题真假的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．