Question

2．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（Ⅲ）若方程g（x）-λf（x）+1=0在（-1，1）上有且只有一个实根，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g（x）的图象上，由线段的中点公式解出 x₀和y₀ 的解析式，代入函数y=f（x）可得g（x）的解析式．
（Ⅱ）不等式可化为 2x²-|x-1|≤0，分类讨论，去掉绝对值，求出不等式的解集．
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1，分类讨论，结合方程g（x）-λf（x）+1=0在（-1，1）上有且只有一个实根，求实数λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g（x）的图象上，
 且 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}+x}{2}=0}\\{\frac{{y}_{0}+y}{2}=0}\end{array}\right.$，即x₀=-x，y₀=-y，
∵点Q（x₀，y₀）在函数y=f（x）的图象上，
∴-y=x²-2x，即y=-x²+2x，故，g（x）=-x²+2x．
（Ⅱ）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得2x²-|x-1|≤0
当x≥1时，2x²-x+1≤0，此时不等式无解．
当x＜1时，2x²+x-1≤0，解得-1≤x≤$\frac{1}{2}$．因此，原不等式的解集$[-1，\frac{1}{2}]$
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1，
①当λ=-1时，h（x）在（-1，1）上是增函数，h（x）=0，x=-$\frac{1}{4}$，符合题意；
②当λ≠-1时，$\left\{\begin{array}{l}{-（1+λ）＞0}\\{h（-1）h（1）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-（1+λ）＜0}\\{h（-1）h（1）＜0}\end{array}\right.$，另需验证h（-1）=0或h（1）=0的情况
∴得到λ≥2或-1＜λ≤$\frac{2}{3}$或λ＜-1．
综上所述，λ≤$\frac{2}{3}$或λ≥2．

点评 本题考查求函数的解析式的方法以及解绝对值不等式的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．