Question

11．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F₁，F₂，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则e₁e₂+1的取值范围是（$\frac{4}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由于△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形可得m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a₁，由双曲线的定义可得m-n=2a₂，由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞10，可得$\frac{5}{2}$＜c＜5．由离心率公式可得e₁•e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}$$•\frac{c}{{a}_{2}}$，即可得出．

解答 解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，
即有m=10，n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a₁，
由双曲线的定义可得m-n=2a₂，
即有a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞10，
则c＞$\frac{5}{2}$，即有$\frac{5}{2}$＜c＜5．
由离心率公式可得e₁•e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}$$•\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{25-{c}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{25}{{c}^{2}}-1}$，
由于1＜$\frac{25}{{c}^{2}}$＜4，则$\frac{1}{\frac{25}{{c}^{2}}-1}$$＞\frac{1}{3}$．
则e₁•e₂+1$＞\frac{1}{3}$+1．
∴e₁•e₂+1的取值范围为（$\frac{4}{3}$，+∞）．
故答案为：（$\frac{4}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、离心率计算公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．