Question

19．已知数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2且n∈N^*时S${\;}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$），求证：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列．

Answer 1

分析 把“当n≥2时a_n=S_n-S_n-1”代入${{S}_{n}}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）化简，由等差数列的定义即可证明数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列．

解答 证明：∵当n≥2时a_n=S_n-S_n-1，且${{S}_{n}}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$），
∴${{S}_{n}}^{2}$=（S_n-S_n-1）（S_n-$\frac{1}{2}$ ），
则${{S}_{n}}^{2}$=${{S}_{n}}^{2}$-$\frac{1}{2}$S_n-S_nS_n-1+$\frac{1}{2}$S_n-1，
即S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
两边同除以S_nS_n-1 得，$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
又a₁=1，则$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项、以2为公差的等差数列．

点评 本题考查了数列的前n项和与通项的关系，利用等差数列的定义确定等差关系，考查化简、变形能力．