Question

8．函数y=log₃x+$\frac{1}{{{{log}_3}x}}$-1的值域是（　　）

• A． （-∞，-3）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-3]∪[1，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 令t=log₃x（t≠0），然后分t＞0和t＜0分类利用基本不等式求得函数的值域．

解答 解：令t=log₃x（t≠0），
则原函数化为y=$t+\frac{1}{t}-1$，
当t＞0时，y=$t+\frac{1}{t}-1$$≥2\sqrt{t•\frac{1}{t}}-1=1$，当且仅当t=1，即x=3时，“=”成立；
当t＜0时，y=$t+\frac{1}{t}-1$=-（-t+$\frac{1}{-t}$）-1≤$2\sqrt{-t•\frac{1}{-t}}-1≤-3$，当且仅当t=-1，即x=$\frac{1}{3}$时，“=”成立．
∴函数y=log₃x+$\frac{1}{{{{log}_3}x}}$-1的值域是（-∞，-3]∪[1，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查函数的值域及其求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．