Question

14．已知函数f（x）=log₂（sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$））
（1）求函数的定义域与单调递减区间；
（2）令$h（x）=sin（\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}）$，求h（1）+h（3）+h（5）+h（7）+…+h（2013）+h（2015）的值；
（3）g（x）=4^f（x）+2^f（x）+1，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据复合函数的单调性求解即可．
（2）根据计算的函数值，找个其周期规律，从而求解．
（3）利用换元法，转化成二次函数问题求解．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）=log₂（sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$）），
令u=sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$），则f（x）=log₂u是增函数．
∵u＞0，即$sin（\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}）＞0$，
可得：$\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}∈（2kπ，π+2kπ），k∈Z$
解得：x∈（-1+6k，2+6k），k∈Z
∴函数f（x）的定义域为x∈（-1+6k，2+6k），k∈Z
当$\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}∈（\frac{π}{2}+2kπ，π+2kπ），k∈Z$时，函数u=sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$）是减函数，
解得：$x∈（\frac{1}{2}+6k，2+6k），k∈Z$
∴函数f（x）的单调递减区间为$x∈（\frac{1}{2}+6k，2+6k），k∈Z$．
（2）由题意：令$h（x）=sin（\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}）$，是周期函数T=6，计算可得h（1）+h（3）+h（5）=0，
∴h（7）+h（9）+h（11）=0…
∴h（1）+h（3）+h（5）=h（7）+h（9）+h（11）=…=h（2011）+h（2013）+h（2015）=0
∴h（1）+h（3）+h（5）+…+h（2015）=0
（3）g（x）=4^f（x）+2^f（x）+1，
令t=2^f（x），由题意可知t∈（0，1]
那么：g（x）=4^f（x）+2^f（x）+1，
转化为g（t）=t²+t+1（t∈（0，1]），
g（t）在（0，1]上单调递增，
g（t）∈（1，3]，
所以：g（x）的值域为（1，3]．

点评 本题考查了复合函数的单调性“同增异减”和周期性函数的求值问题以及复合函数值域的问题．属于中档题．