Question

【题目】已知函数,().

(1)求函数的单调区间；

(2)求证:当时,对于任意,总有成立．

Answer 1

【答案】（1）当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,；当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（I）首先求出函数的导数，对字母a进行分类讨论，根据，可知函数单调递增，时函数单调递减可得答案．（Ⅱ）要证当a＞0时，对于任意，总有成立，即要证明对于任意，总有．根据（Ⅰ）可知，当时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，从而有，再利用导数可得，当时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，所以，再用作差法即可证明．

试题解析解：（Ⅰ）函数的定义域为，.

当时，当变化时，，的变化情况如下表：

		0		0
	↘		↗		↘

当时，当变化时，，的变化情况如下表：

		0		0
	↗		↘		↗

综上所述，

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；

当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 5分 （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，；在上单调递减，且. 所以时， .因为，所以，

令，得时，由，得；由，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以.

因，对任意，总有. 10分

②当时，在上恒成立，

所以函数在上单调递增，.

所以对于任意，仍有.

综上所述，对于任意，总有. 14分