Question

设抛物线C：x²＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.

       (1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；

       (2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

Answer 1

解　(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.

由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝ p.

因为△ABD的面积为4 ，所以|BD|·d＝4 ，

即·2p· p＝4 ，

解得p＝－2(舍去)或p＝2.

所以F(0,1)，圆F的方程为x²＋(y－1)²＝8.

(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.

由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|.

所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.

当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x²＝2py得x²－px－2pb＝0.

由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p²＋8pb＝0，

解得b＝－.

因为m的纵截距b₁＝，＝3，

所以坐标原点到m，n距离的比值也为3.

当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.

综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.