Question

设是数列的前项和，对任意都有成立， (其中、、是常数) ．

（1）当，，时，求；

（2）当，，时，

①若，，求数列的通项公式；

②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”.

如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有

，且．若存在，求数列的首项的所

有取值构成的集合；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）当，，时，由得

                        ①

 用去代得，，   ②

 ②—①得，，，                     

 在①中令得，，则0，∴，

∴数列是以首项为1，公比为3的等比数列，

∴=                                              

（2）当，，时，

，                           ③

用去代得，，  ④  

④—③得，       ，      ⑤            

用去代得，，       ⑥

⑥—⑤得，，即，       

∴数列是等差数列.∵，，

∴公差，∴                          

易知数列是等差数列，∵，∴.

又是“数列”，得：对任意，必存在使

，

得，故是偶数，                          …

又由已知，，故                      

一方面，当时，，对任意，

都有                                                        

另一方面，当时，，，

则，

取，则，不合题意.                  

当时，，，则

，       

当时，，，

，       

又，∴或或或             

所以，首项的所有取值构成的集合为