Question

【题目】如图，斜三棱柱中，，，，D是的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

1取AB的中点M，连接CM，，由已知求解三角形可得，，由直线与平面垂直的判定可得平面ABC，从而得到平面平面ABC；

2设与BD交于点O，E为BC的中点，则结合1可证得平面，得到平面平面过O作于N，则即为所求角，再求解三角形可得直线DB与平面所成角的正弦值．

（1）取中点M，连结，如图

因为，故，所以，

又因为，所以，且，

所以，

所以，所以平面，

而平面，

所以平面平面．

（2）设与相交于O，过O作于N

E为的中点，则，所以平面，

所以平面平面，

因为，则即为所求的角，

易知为等腰直角三角形，且O为其重心，

故，，

又因为与相似，

所以，

所以．