Question

【题目】如图，E是以AB为直径的半圆O上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于半圆O所在的平面，且AB=2AD=2.

（1）求证：；

（2）若异面直线AE和DC所成的角为，求平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1) 由面面垂直的性质可证得.再线面垂直的判定定理和性质定理可得证；

(2)以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由二面角的向量求解方法可求得平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值.

(1) ∵平面垂直于圆所在的平面，

两平面的交线为平面，

∴垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内，

∴.∵是直角，∴，

又，∴平面，

∴.

(2)如图， 以点为坐标原点，所在的直线为轴，

过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.

由异面直线和所成的角为，，

知，∴，

∴，由题设可知 ，，

∴，.

设平面的一个法向量为，

由，即

得，，取，得.

∴.又平面的一个法向量为，

∴.

平面与平面所成的锐二面角的余弦值.