Question

【题目】已知正项数列满的前项和为，且满足.数列满足，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）记数列满足设数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小

Answer 1

【答案】（1），；（2）当时，；当时.

【解析】

(1)利用数列的前项和与通项的关系可得或，再分情况讨论，并结合等差数列的证明求解即可.

(2)代入、的通项公式可得，再错位相减可得，裂项相消可得，再利用作差法比较大小即可.

解：(1)数列各项均为正数，由于，

当时，，，解得：

当时，作差可得：

即﹐所以或，

即或

①当时，由于所以不合题意，舍去；

②当时，为等差数列，所以即，

由于，所以是公比为2的等比数列，，

解得，所以，即

（2）因为

所以，，所以

两式作差可得：

，

所以，，

，

要比较与的大小，只需比较与与的大小，

经检验，当时，即，

当时，

此时，，即，

综上所述，当时，﹔当时