Question

12．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα-tanβ|的最小值为1．

Answer 1

分析 利用椭圆的标准方程及其性质可得：k_PA•k_PB=-$\frac{b^2}{a^2}$，即tanαtanβ=-$\frac{b^2}{a^2}$=-$\frac{1}{4}$，由|tanα-tanβ|=|tanα|+|tanβ|，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$．
设P（x₀，y₀），椭圆顶点A（-a，0），B（a，0），k_PA=$\frac{y_0}{{x{\;}_0+a}}，{k_{PB}}=\frac{y_0}{{{x_0}-a}}$，
k_PA•k_PB=$\frac{y_0}{{x{\;}_0+a}}•\frac{y_0}{{{x_0}-a}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{a^2}}}$，
又$\frac{{{x_0}^2}}{a^2}+\frac{{{y_0}^2}}{b^2}$=1，∴${y_0}^2={b^2}（1-\frac{{{x_0}^2}}{a^2}）=\frac{b^2}{a^2}（{a^2}-{x_0}^2）$，
∴k_PA•k_PB=-$\frac{b^2}{a^2}$，
即tanαtanβ=-$\frac{b^2}{a^2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴|tanα-tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2$\sqrt{|tanβ||tanβ|}$=1．当且仅当|tanα|=|tanβ|=1时取等号．
∴|tanα-tanβ|的最小值为1，
故答案为：1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．