Question

11．我们把离心率e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的椭圆叫做“优美椭圆”，设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1为优美椭圆，F、A分别是它的右焦点和左顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于（　　）

• A． 60°
• B． 75°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 由e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$可得2c²=（3-$\sqrt{5}$）a²，验证|FA|²=|FB|²+|AB|²成立，所以∠FBA等于 90°．

解答 解：∵e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，∴2c²=（3-$\sqrt{5}$）a²，
在椭圆中有b²+c²=a²，|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴|FA|²=（a+c）²=a²+c²+2ac，|FB|²+|AB|²=2a²+b²=3a²-c²，
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$a²，
∴∠FBA等于 90°．
故选：C．

点评 解决此类问题关键是熟练掌握椭圆的几何性质，以及利用边长关系判断三角形的形状的问题．