Question

19．求满足下列条件的双曲线的标准方程
（1）与椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$共焦点且过点（2，1）
（2）过点（1，1），（2，$\sqrt{7}$）

Answer 1

分析 （1）先求出c，再利用双曲线与椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$共焦点且过点（2，1），建立方程，求出a，b．即可求出双曲线的标准方程；
（2）利用待定系数法，设出方程，代入点的坐标，即可得出结论．

解答 解：（1）椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的焦点坐标为（±$\sqrt{3}$，0），∴c=$\sqrt{3}$，
∵双曲线与椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$共焦点且过点（2，1）
∴$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1；
（2）设双曲线方程为mx²-ny²=1（mn＞0），
∵双曲线过点（1，1），（2，$\sqrt{7}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-n=1}\\{4m-7n=1}\end{array}\right.$，∴m=2，n=1，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}-{y}^{2}$=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查待定系数法，考查学生的计算能力属于中档题．