【题目】如图,在边长为4的菱形中,
,点
分别是
的中点,
,沿
将
翻折到
,连接
,得到如图的五棱锥
,且
(1)求证: 平面
(2)求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)先证明,从而
,根据线面垂直的判定定理可证明
平面
;(2)设
,连接
,以
为原点,
在直线为
轴,
所在直线
轴,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系
,分别求出平面
与平面
的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果.
试题解析:(1)点
分别是
的中点
菱形
的对角线互相垂直
(2)设,连接
为等边三角形,
,在
中,在
中,
,以
为原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系
,则
设平面的法向量为
,由
得
令得
平面
的一个法向量为
,
由(1)知平面的一个法向量为
,
设求二面角的平面角为
,
则
二面角
的余弦值为
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB边上异于AB的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图),若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )
A.2
B.1
C.
D.
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【题目】如图,函数y=2sin(πx+φ),x∈R(其中0≤φ≤ )的图象与y轴交于点(0,1).
(1)求φ的值.
(2)设P是图象上的最高点,M、N是图象与x轴的交点,求tan∠MPN的值.
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【题目】已知点为圆
的圆心,
是圆上动点,点
在圆的半径
上,且有点
和
上的点
,满足
(1)当在圆上运动时,求点
的轨迹方程;
(2)若斜率为的直线
与圆
相切,与(1)中所求点
的轨迹教育不同的两点
是坐标原点,且
时,求
的取值范围.
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【题目】已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
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【题目】对于函数,若在定义域内存在实数
,满足
,则称
为“
类函数”.
(1)已知函数,试判断
是否为“
类函数”?并说明理由;
(2)设是定义在
上的“
类函数”,求是实数
的最小值;
(3)若
为其定义域上的“
类函数”,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>0),直线y=x+
与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴为半径的圆相切,F1 , F2为其左右焦点,P为椭圆C上的任意一点,△F1PF2的重心为G,内心为I,且IG∥F1F2 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知A为椭圆C上的左顶点,直线∫过右焦点F2与椭圆C交于M,N两点,若AM,AN的斜率k1 , k2满足k1+
k2=﹣ ,求直线MN的方程.
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【题目】某校从参加高三期中考试的学生中抽出50名学生,并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分),数学成绩分组及样本频率分布表如下:
分组 | 频数 | 频率 |
[40,50) | 2 | 0.04 |
[50,60) | 3 | 0.06 |
[60,70) | 14 | 0.28 |
[70,80) | 15 | ② |
[80,90) | ① | 0.24 |
[90,100] | 4 | 0.08 |
合计 | ③ | ④ |
(1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上;
(2)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩,学校决定成立“二帮一”小组,即从成绩[90,100]中选两位同学,共同帮助[40,50)中的某一位同学,已知甲同学的成绩为42分,乙同学的成绩为95分,求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.
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