Question

3．已知关于x的函数f（x）=（a+1）x²-ax+a-1，a∈R是常数．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若?x∈R，都有f（x）＜2x²，求a的取值范围（用集合表示）．

Answer 1

分析 （1）直接利用二次不等式求解即可．
（2）通过①若a=1，②若a≠1，分别求解即可得到a的取值范围．

解答 解：（1）a=1时，由f（x）＞0得，2x²-x＞0…（1分）
解得$x＞\frac{1}{2}$或x＜0…（3分），解集为$（-∞，0）∪（\frac{1}{2}，+∞）$…（5分）
（2）由f（x）＜2x²得（a-1）x²-ax+a-1＜0
①若a=1，则（a-1）x²-ax+a-1＜0当且仅当x＞0，不符合题意…（7分）
②若a≠1，则有$\left\{\begin{array}{l}a-1＜0\\{（-a）^2}-4{（a-1）^2}＜0\end{array}\right.$…（9分）
解（-a）²-4（a-1）²＜0得，a＞2或$a＜\frac{2}{3}$…（11分）
所以，a的取值范围为$（-∞，\frac{2}{3}）$（或$\left\{{a|a＜\frac{2}{3}}\right\}$）…（12分）

点评 本题考查函数的恒成立，二次不等式的解法，考查计算能力．