Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁=1，a_n+a_n+1=3n+2（n∈N^*），则S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{n}^{2}+4n}{4}，n为偶数}\\{\frac{3{n}^{2}+4n-3}{4}，n为奇数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 确定奇数项、偶数项均以3为公差的等差数列，可得a_2n-1=3n-2，a_2n=3n+1，再分类讨论，运用等差数列的求和公式，即可得出结论．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+a_n+1=3n+2，
∴a₂+a₁=5，a₃+a₂=8，a₄+a₃=11，a₅+a₄=14，a₆+a₅=17，…，
∴a₂=4，a₃=4，a₄=7，a₅=7，a₆=10，…，
∴奇数项、偶数项均以3为公差的等差数列，
∴a_2n-1=3n-2，a_2n=3n+1，
n=2k时，S_n=$\frac{k（1+3k-2）}{2}$+$\frac{k（4+3k+1）}{2}$
=3k²+2k=$\frac{3{n}^{2}+4n}{4}$；
n=2k-1时，S_n=S_2k-a_2k=3k²+2k-3k-1
=3k²-k-1=$\frac{3{n}^{2}+4n-3}{4}$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{n}^{2}+4n}{4}，n为偶数}\\{\frac{3{n}^{2}+4n-3}{4}，n为奇数}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{n}^{2}+4n}{4}，n为偶数}\\{\frac{3{n}^{2}+4n-3}{4}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．