Question

5．若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{1-x}}，x≤1\\ ln（{x-1}），x＞1\end{array}\right.$，则使得f（x）≥2成立的x的取值范围是（-∞，1-ln2]∪[1+e²，+∞）．

Answer 1

分析 讨论当x＞1时，ln（x-1）≥2；当x≤1时，e^1-x≥2，运用指数函数和对数函数的单调性，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^{1-x}}，x≤1\\ ln（{x-1}），x＞1\end{array}\right.$，
当x＞1时，ln（x-1）≥2，可得x-1≥e²，即为x≥1+e²；
当x≤1时，e^1-x≥2，即有1-x≥ln2，解得x≤1-ln2．
综上可得x≥1+e²或x≤1-ln2．
故答案为：（-∞，1-ln2]∪[1+e²，+∞）．

点评 本题考查分段函数的应用：解不等式，考查指数函数和对数函数的单调性，运算能力，属于中档题．