Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，点M（4，1）是椭圆上一定点，直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求△OAB面积的最大值．（点O为坐标原点）

Answer 1

分析：（1）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，知a=2k，c=

3

k，b²=k²，由椭圆过点M（4，1），解得k²=5，由此能求出椭圆方程．
（2）将y=x+m代入

x2

20

+

y 2

5

=1，并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，由△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，能求出m的取值范围．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4m2-20

5

，k=1，|AB|=

2( 64m2 25 - 16m2-80 5 )

=

4 2

5

-m2+25

，O到直线AB的距离d=

|m|

2

，由此能求出△OAB面积的最大值．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，
∴a=2k，c=

3

k，b²=k²，
∵椭圆过点M（4，1），
∴

16

4k2

+

1

k2

=1，解得k²=5，
故椭圆方程为

x2

20

+

y 2

5

=1．
（2）将y=x+m代入

x2

20

+

y 2

5

=1，并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，
△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，
解得：-5＜m＜5．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4m2-20

5

，k=1，
∴|AB|=

2( 64m2 25 - 16m2-80 5 )

=

4 2

5

-m2+25

，
∵O到直线AB的距离d=

|m|

2

，
∴△OAB面积S=

1

2

|AB|•d=

2

5

-m2+25

•|m|≤5．
当且仅当m=±5时，取最大值．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．