Question

5．已知圆C₁：x²+y²+Dx+Ey+F=0关于直线x+y-2=0对称，且经过点（0，0）和（4，0）．
（Ⅰ）求圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）已知圆C₂的方程为（x-2）²+y²=1．
（i）若过原点的直线l与C₂相交所得的弦长为$\sqrt{2}$，求l的方程；
（ii）已知斜率为k的直线m过圆C₂上一动点，且与圆C₁相交于A、B两点，射线PC₂交圆C₁于点Q，求△ABQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据圆C₁：x²+y²+Dx+Ey+F=0关于直线x+y-2=0对称，且经过点（0，0）和（4，0），建立方程组，即可求圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用过原点的直线l与C₂相交所得的弦长为$\sqrt{2}$，求l的方程；
（ii）利用S_△ABQ=$3{S}_{△AB{C}_{2}}$，求△ABQ面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{D}{2}-\frac{E}{2}-2=0}\\{F=0}\\{16+4D+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=-4，E=F=0，
∴圆C₁的标准方程（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）（i）斜率不存在时，方程为x=0，与C₂无交点，不满足题意；
斜率存在时，设方程为kx-y=0，则圆心到直线的距离为$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
∵过原点的直线l与C₂相交所得的弦长为$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴l的方程为x$±\sqrt{7}$y=0；
（ii）设P（x₀，y₀），AB：：y-y₀=k（x-x₀），
∵|C₂Q|=2|C₂P|，
∴${S}_{△B{C}_{2}Q}=2{S}_{△B{C}_{2}P}，{S}_{△A{C}_{2}Q}=2{S}_{△A{C}_{2}P}$，
∴S_△ABQ=$3{S}_{△AB{C}_{2}}$
圆心C₂到直线AB的距离d=$\frac{|k（2-{x}_{0}）+{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$（0＜d≤1），|AB|=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，
∵${S}_{△AB{C}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|AB|d，
∴S_△ABQ=$3{S}_{△AB{C}_{2}}$=3d$\sqrt{4-{d}^{2}}$=3$\sqrt{-（{d}^{2}-2）^{2}+4}$
∴d²=1时，△ABQ的面积最大，最大为3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．