Question

18．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sin（A+B）=$\frac{\sqrt{6}}{9}$
（1）求sinA．
（2）若ac=2$\sqrt{3}$，求c．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内角和定理以及和与差公式计算即可；
（2）利用正弦定理计算即可；

解答 解：（1）在△ABC中中，A+B+C=π．
由cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得：sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵sin（A+B）=sinC=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$＞sinC=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，C为锐角，
∴cosC=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
可得a=$\frac{csinA}{sinC}$=$2\sqrt{3}c$，
又ac=2$\sqrt{3}$．
∴c=1．

点评 本题考查了正弦定理的运用和三角形内角和定理以及和与差公式计算，属于基础题．