Question

6．设函数f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和单调性，得出结论．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）函数f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x=cos2xcos$\frac{2π}{3}$-sin2xsin$\frac{2π}{3}$+cos2x+1
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
故函数的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ+π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π，求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，求得函数的增区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度后得到函数g（x）=cos[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]+1
=cos（2x-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）+1=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1的图象，
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
可得：cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
解得：g（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[$\frac{1}{2}$，2]．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，余弦函数的周期性和单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．