Question

9．设函数f（x）=|2x+3|+|x-1|．
（1）解不等式f（x）＞4；
（2）若存在x₀∈[-$\frac{3}{2}$，1]，使不等式a+1＞f（x₀） 成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的表达式，得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）问题转化为：a+1＞（f（x））_min，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|2x+3|+|x-1|，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-2，x＜-\frac{3}{2}}\\{x+4，-\frac{3}{2}≤x≤1}\\{3x+2，x＞1}\end{array}\right.$，
∴f（x）＞4?$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{3}{2}}\\{-3x-2＞4}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x≤1}\\{x+4＞4}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{3x+2＞4}\end{array}\right.$，
?x＜-2或0＜x≤1或x＞1，
综上所述，不等式的解集为：（-∞，-2）∪（0，+∞）；
（2）若存在x∈[-$\frac{3}{2}$，1]使不等式a+1＞f（x）成立，
?a+1＞（f（x））_min，
由（1）知，x∈[-$\frac{3}{2}$，1]时，f（x）=x+4，
∴x=-$\frac{3}{2}$时，（f（x））_min=$\frac{5}{2}$，
a+1＞$\frac{5}{2}$?a＞$\frac{3}{2}$，
∴实数a的取值范围为（$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题考察了绝对值不等式的解法，考察转化思想，是一道中档题．