Question

15．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁、BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$（λ∈R）．
（1）求异面直线PN，AM所成的角；
（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PN，AM所成的角．
（2）求出平面ABC的法向量和平面PMN的一个法向量，利用同量法能求出在直线A₁B₁上不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的角为45°．

解答 证明：（1）如图，以A为原点，AB为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（λ，0，1），N（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），A（0，0，0），M（0，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{2}-λ$，$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{AM}$=0+$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$=0，
∴PN⊥AM，
∴异面直线PN，AM所成的角为90°．
解：（2）平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设平面PMN的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{MP}$=（$λ，-1，\frac{1}{2}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PN}=（\frac{1}{2}-λ）x+\frac{1}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MP}=λx-y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{m}$=（3，2λ+1，2-2λ），
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2-2λ}{\sqrt{9+（2λ+1）^{2}+（2-2λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$λ=-\frac{1}{2}$，
∴在直线A₁B₁上不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的角为45°．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．