Question

13．已知函数$f（x）=（\sqrt{3}cosx-sinx）sinx$，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在$[{0，\frac{π}{4}}]$上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
（Ⅰ）利用三角函数的图象与性质，即可求出f（x）的最小正周期与单调增区间；
（Ⅱ）根据$0≤x≤\frac{π}{4}$，求出$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，再根据正弦函数的图象与性质即可求出函数的最值．

解答 解：函数$f（x）=（\sqrt{3}cosx-sinx）sinx$
=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，x∈R；
（Ⅰ）f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$，
令$-\frac{π}{2}++2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
解得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，
所以函数f（x）的单调增区间为
$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]，k∈Z$；---（6分）
（Ⅱ）因为$0≤x≤\frac{π}{4}$，
所以$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
所以$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
所以$0≤f（x）≤\frac{1}{2}$．
当且仅当x=0时 f（x）取最小值f（x）_min=f（0）=0，
当且仅当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$时f（x）取得最大值$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．---（12分）

点评 本题考查了三角函数的恒等变换的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．