Question

设A、B为椭圆

x2

16

+

y2

9

=1上任意两点，O为坐标原点，则“OA⊥OB”是“O到直线AB的距离为

12

5

”的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分必要条件
• D、既不充分又不必要条件

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线BA的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．与椭圆的方程联立可得（9+16k²）x²+32kmx+16m²-144=0，△＞0，由于OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0，利用根与系数的关系可得25m²=144（1+k²）．O到直线AB的距离为

12

5

?

|m|

1+k2

=

12

5

?25m²=144（1+k²）．当直线BA的斜率不存在时也成立．
即可得出．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线BA的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．
联立

y=kx+m x2 16 + y2 9 =1

，化为（9+16k²）x²+32kmx+16m²-144=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=

-32km

9+16k2

，x₁x₂=

16m2-144

9+16k2

．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

(1+k2)(16m2-144)

9+16k2

+

-32k2m2

9+16k2

+m²=0，
化为25m²=144（1+k²）．
O到直线AB的距离为

12

5

?

|m|

1+k2

=

12

5

?25m²=144（1+k²）．
当直线BA的斜率不存在时也成立．
因此“OA⊥OB”是“O到直线AB的距离为

12

5

”的充要条件．
故选：C．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题=转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、点到直线的距离公式、充要条件的判定，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．