Question

已知椭圆，离心率为 ，两焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点，且△的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作圆的切线交椭圆于两点，求弦长的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）确定椭圆标准方程需要两个独立条件，由离心率为得的关系，由椭圆定义得△的周长为，从而可求得，进而可确定椭圆方程；（2）解析几何中的最值问题，通常是选定变量，将目标函数用一个变量表示，进而转化为求函数的最值问题．本题中当斜率不存在时，则切线为，此时直接计算弦长；当切线斜率存在时，可设直线方程利用直线和圆相切的条件，得变量的关系，利用斜长公式结合韦达定理，将用变量表示，进而求函数的最大值即可．

试题解析：（1）由题得：，，所以，。 3分

又，所以即椭圆的方程为. 4分

（2）由题意知，.

当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为

此时 ; 当m=－1时，同理可得 5分

当时，设切线的方程为

由

设A、B两点的坐标分别为，

则

又由l与圆 得

所以

9分

因为 所以

且当时，|AB|=2，

由于当时，所以|AB|的最大值为2. 12分

考点：1、椭圆的标准方程和简单几何性质；2、函数的最值.