Question

设函数f（x）=e^x，g（x）=-

x2

4

，其中e为自然对数的底数．
（1）已知x₁，x₂∈R，求证：

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≥f（

x1+x2

2

）；
（2）是否存在与函数f（x），g（x）的图象均相切的直线l？若存在，则求出所有这样的直线l的方程；若不存在，则说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）利用作差法即可证明；
（2）设直线l与函数f（x）的图象相切，切点为（t，e^t），则l的方程可表示为y=e^tx+e^t（1-t），直线l与函数g（x）的图象相切的充要条件是关于x的方程etx+et(1-t)=-

x2

4

有两个相等的实数根，
从而有△=0，构造函数化为函数零点存在问题可求；

解答： （1）证明：∵

1

2

[f(x1)+f(x2)]-f(

x1+x2

2

)
=

1

2

(ex1+ex2)-e

x1+x2

2

=

1

2

(ex1+ex2-2e

x1+x2

2

)
=

1

2

(e

x1

2

-e

x2

2

)²≥0，
∴

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)．
（2）解：设直线l与函数f（x）的图象相切，切点为（t，e^t），
则直线l的方程为y-e^t=e^t（x-t），即y=e^tx+e^t（1-t），
直线l与函数g（x）的图象相切的充要条件是关于x的方程etx+et(1-t)=-

x2

4

，即

x2

4

+etx+et(1-t)=0有两个相等的实数根，
∴△=e^2t-e^t（1-t）=0，e^t+t-1=0，
设φ（t）=e^t+t-1，则φ（0）=0，且φ′（t）=e^t+1＞0，
φ（t）在R上递增，φ（t）只有一个零点t=0．
∴存在唯一一条直线l与函函数f（x）与g（x）的图象均相切，其方程为y=x+1．

点评：该题考查导数的几何意义、不等式的证明等知识，考查学生的推理论证能力及运算求解能力．