Question

下列四个命题中，真命题的是

 

（写出所有正确的序号）．
①若f（x）=2f（2-x）-3x+2（x∈R），则f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为x+y-2=0；
②若对?n∈N^*，F（n）＞n+1可以推出F（n+1）＞n+2，那么F（5）≤6可以推出F（4）≤5；
③若a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0，则a＞0，b＞0，c＞0；
④已知A（7，0），B（-7，0），C（2，-12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线；
⑤方程（x²+3y²-9）

x+y-1

=0表示的曲线是一条直线和一个椭圆．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①用2-x替换x得：f（2-x）=2f（x）-3（2-x）+2=2f（x）+3x-4，与已知联立，可求得f（x）=2-x，
从而可求得f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程，继而可作出判断；
②利用归纳推理，可判断②正确；
③利用反证法可证得，结论成立；
④利用椭圆的定义，可判断椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线的左支，从而可知④的正误；
⑤由x+y-1≥0，可知该方程表示的是直线y=1-x与其右侧的椭圆（椭圆x²+3y²=9的一部分），从而可判断其正误．

解答： 解：①∵f（x）=2f（2-x）-3x+2，（1）
∴用2-x替换x得：f（2-x）=2f（x）-3（2-x）+2=2f（x）+3x-4，（2）
联立（1）（2）得：f（x）=2-x，
∴f′（x）=-1，又f（1）=1，
∴f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为：y-1=（x-1），整理得：x+y-2=0，故①正确；
②对?n∈N^*，F（n）＞n+1可以推出F（n+1）＞n+2，那么F（5）≤6可以推出F（4）≤5，正确；
③正确，下面用反证法证明：
显然a，b，c都不为0，
若a＜0，
则由abc＞0，有bc＜0，b，c异号，不妨设b＜0，c＞0，
∵a+b+c=-|a|-|b|+c＞0，∴|a|+|b|＜c；
又ab+bc+ac=|a||b|-|b|c-|a|c=|a||b|-（|a|+|b|）c＞0，
∴c＜

|a||b|

(|a|+|b|)

，
∴|a|+|b|＜c＜

|a||b|

(|a|+|b|)

，
即（|a|+|b|）²＜|a||b|，
∴a²+b²+|ab|＜0，这是不可能的．
∴假设错误，∴a＞0，同理b＞0，c＞0，故③正确；
④设另一个焦点D（x，y），则由椭圆定义知：AC+AD=BC+BD，
∵AC=15，BC=13，
∴BD-AD=AC-BC=2，
∴这是以AB为焦点的双曲线的左支，其方程为：x²-

y2

48

=1（x＜0），故④错误；
⑤方程（x²+3y²-9）

x+y-1

=0中，x+y-1≥0，
故该方程表示的是直线y=1-x与其右侧的椭圆（椭圆x²+3y²=9的一部分），故⑤错误；
综上所述，真命题的是①②③，
故答案为：①②③．

点评：本题考查求曲线的方程及切线方程，考查归纳推理、反证法、椭圆的概念及应用，考查综合分析与运算求解能力，属于难题．